Заведующий лабораторией - академик Российской академии наук,

д.т.н., профессор Кузнецов Николай Александрович

Ведущие ученые лаборатории:

Продолжены работы по теории низкоплотностных сверточных кодов. Доказано, что для низкоплотностных (3,К)-кодов, К>3, как блочных, так и сверточных, вероятность ошибки убывает с числом итераций не слабее, чем экспоненциально, а для (4,К)-кодов, К>4, не слабее, чем по двойной экспоненте. Результаты подтверждены моделированием.

Доказано теоретически, что использование предложенного нами адаптивного метода передачи "вниз" от базовой станции к мобильному пользователю увеличивает пропускную способность системы по крайней мере вдвое. Это же подтверждено моделированием.

Рассмотрены обобщенные каскадные конструкции построения двоичных нелинейных совершенных кодов с параметрами кодов Хэмминга. Получено несколько новых конструкций для таких кодов. Для всех конструкций выписаны нижние оценки для числа различных кодов, которые можно получить.

Найдены весовые спектры всех смежных классов для следующих двух типов кодов Геталса: $Z_4$-линейных кодов Геталса над кольцом $Z_4$ и двоичных кодов типа Геталса, полученных из кодов над $Z_4$ отображением Грея.

Изучая весовые спектры смежных классов кодов Геталса, удалось связать эти коды с экспоненциальными суммами Клостермана. С одной стороны, для некоторых смежных классов веса четыре удалось получить число векторов веса четыре в терминах сумм Клостермана. С другой стороны, удалось получить некоторые новые ограничения на возможные значения этих сумм над полями характеристики два. Эти результаты уточняют известные результаты, полученные ранее Ляшо и Вульфманом. Изучая весовые спектры обобщенных кодов Геталса, удалось выписать выражения для числа слов веса четыре в терминах числа решений для некоторых уравнений относительно многочленов Диксона.

Рассмотрена взаимосвязь двоичных циклических кодов и последовательностей с триномиальным свойством.

Для системы уравнений реакции-диффузии с быстро осциллирующими членами найдена явная оценка отклонения ее глобального аттрактора от глобального аттрактора соответствующей усредненной системы уравнений реакции-диффузии.

Изучены аттракторы диссипативных нелинейных волновых уравнений и систем уравнений реакции-диффузии в неограниченных областях. Найдены оценки сверху и снизу для колмогоровской эпсилон-энтропии этих аттракторов в любой ограниченной подобласти.

Показано, что фрактальная размерность аттрактора двумерной системы Навье-Стокса допускает ту же оценку, что и хаусдорфова размерность, а именно, не превосходит его ляпуновской размерности, вычисленной с помощью глобальных показателей Ляпунова.

Улучшена оценка сверху для функции надежности гауссовского канала связи. При этом оказался полезным метод, разработанный М. В. Бурнашевым почти 20 лет назад для внешне другой задачи.

Получены достаточные условия, при которых пропускная способность идентификации совпадает с шенноновской пропускной способностью канала. Приведены примеры, когда они не совпадают между собой.

Одно из основных направлений работ было связано с развитием статистического подхода к обратным задачам для уравнений в частных производных. Полученные результаты касаются применения принципа минимизации эмпирического риска для выбора решения обратной задачи из заданного семейства решений. Показано, что этот подход при правильно выбранном штрафе, который определяется типом обратной задачи, дает решение с почти минимальным риском и при этом не использует информацию о гладкости начальных или граничных условий.

Построена система диагностического контроля древовидной сети процессоров. В противовес укоренившемуся в последние десятилетия сигнатурному анализу контроль основан на применении алгебраических кодов. Разработан метод контроля некоторых устройств, реализующих операции в конечных полях. Исследованы свойства кодов Кердока, как разделяющих систем.

Исследована скорость создания информации в каналах без памяти при передаче медленно меняющегося марковского сигнала. В предположении, что входным сигналом служит стационарная цепь Маркова с конечным числом состояний и редкими переходами, показано, что скорость создания информации асимптотически эквивалентна энтропии этой цепи, и следовательно, главный член ее асимптотики не зависит от мощности шума в канале.

Изучена задача фильтрации стационарного сингулярного случайного процесса при нестационарных искажениях. Для некоторых моделей нестационарных искажений получены достаточные условия, при выполнении которых оказывается возможной безошибочная фильтрация таких процессов.

Рассмотрено текущее оценивание неизвестной древовидно-контекстной модели источника по критерию “наименьшей длины описания”. Предложен алгоритм нечеткого оценивания модели. Для обоих случаев получены оценки максимальной индивидуальной избыточности кодирования.

Непрефиксные древовидно-контекстные модели дискретных источников точнее описывают статистические свойства реальных данных (в частности, текстов), чем префиксные модели. Поскольку множество таких моделей очень велико, были рассмотрены некоторые “разумные” подмножества непрефиксных моделей и для них предложены методы мультимодельного универсального кодирования.

Для повышения эффективности сжатия данных после преобразования Бэрроу-Виллера (позволяющего уменьшить сложность реализации) был разработан алгоритм смешанного “символьно-числового” кодирования. Его эффективность подтверждена экспериментальными исследованиями.

Были исследованы статистические параметрические и непараметрические оценки, статистические обратные задачи для уравнений с частными производными, принцип усреднения для процессов с ноль-рекуррентной быстрой компонентой.

В рамках темы "Исследование помехоустойчивости цифровых методов сжатия и передачи речи, использующих авторегрессионную модель речеобразования" исследована устойчивость к акустическим шумам процедуры оценки основного тона кодека речи IMBE (стандарт TIA/EIA-102.BABA) и вклад ее дисперсии в качество кодирования IMBE. Предложены модификации исходного алгоритма (процедуры прямого и обратного отслеживания и процедуры уточнения основного тона) улучшающие его помехоустойчивость и, как следствие, качество решения "вокализованный/невокализованный сегмент" в каждой из рабочих полос кодека.

Разработанная в 1998-1999 годах система кросс-разработки (на основе транслятров (Оберон-2 в С) для стандартных 32 битных CPU (Intel x86, Motorola 680x0, PPC и др.) и DSP с обобщенной Гарвардской архитектурой (16 битных целочисленных ADSP-21xx и 32 битных плавающих ADSP-21xxx) перенесена вместе с библиотеками на операционные системы поддерживающие стандарт POSIX (BeOS, Linux, QNX и т.д.). Соответственно адаптированы Unix-зави-симые модули библиотек проекта OOC. Подготовлена документация по трансляторам и библиотекам.

Изучались задачи о существовании свободных колебаний в нелинейных автономных системах управления. Были предложены новые априорные признаки существования отличных от состояния равновесия колебательных режимов, использующие секторные оценки нелинейности и асимптотические условия на ее знак в нуле и на бесконечности. Обычные в задачах о вынужденных колебаниях и об устойчивости ограничения типа линейных двусторонних секторных оценок при анализе свободных колебаний применены, по-видимому, впервые. Эффективность предлагаемых теорем определяется широтой допустимых секторов. Разработаны алгоритмы оценки периода цикла при выбранном допустимом секторе и алгоритмы вычисления границ допустимых секторов (эти границы определяются по характеристикам линейного звена). Для гамильтоновых систем управления предложенный метод приводит к теоремам о существовании глобального континуума циклов всевозможных амплитуд. Получен простой критерий гамильтоновости систем Лурье с одной скалярной нелинейностью.

Были продолжены недавно начатые исследования новых классов бифуркаций Хопфа. Бифуркациями Хопфа называют задачи о рождении периодических колебаний в окрестности нулевого положения равновесия при изменении параметров автономных систем и близкие к ним по постановке задачи о рождении колебаний в окрестности бесконечности. Следует подчеркнуть принципиальное различие задач в нуле и на бесконечности: в них естественны и важны различные классы нелинейностей, не переходящие друг в друга при преобразованиях типа инверсий. В классических теоремах точки бифуркации определяются по линейной части системы – они совпадают со значениями параметра, при которых линейная часть вырождается (пара собственных значений матрицы линеаризованной системы пересекает мнимую ось). Принципиально новая ситуация возникает, когда линейная часть системы либо вообще не зависит от параметра, либо вырождается при всех его значениях; здесь по линейной части невозможно сделать выводы о наличии точек бифуркации. Для исследования таких ситуаций предложен оригинальный метод построения и анализа эквивалентных задаче топологически невырожденных операторных уравнений и указаны простые правила отыскания точек бифуркации по асимптотическому поведению малых подлинейных нелинейностей в окрестности нуля или бесконечности. Изучена устойчивость рождающихся циклов (использовались методы монотонных операторов, действующих в пространстве с конусом, и метод функционализации параметров), тип бифуркаций Хопфа (суб- или суперкритическая), получены асимптотики циклов и др. Предложенный метод также применим (и особенно прост) при анализе бифуркаций с невырожденной линейной частью. Метод ориентирован на анализ задач с негладкими нелинейностями, в частности, с гистерезисом. Изучены бифуркации Хопфа из бесконечности в системах со сложными гистерезисными нелинейностями А. Ю. Ишлинского. Выделены естественные ситуации, когда при близких к точке бифуркации значениях параметра система имеет однопараметрические континуумы больших циклов (для систем с функциональными нелинейностями стандартна единственность цикла).

Изучались различные асимптотически линейные на бесконечности (резонансные) задачи с неограниченными нелинейностями. Предложен оригинальный метод исследования таких задач, основанный на теоремах о сходимости к нулю проекций приращений нелинейностей. Изучены приложения к краевым задачам, задачам о вынужденных и свободных колебаниях, бифуркациях, задачам о существовании неограниченных решений и др.

Одно из основных условий возникновения малых колебаний в окрестности нулевого состояния равновесия – это условие нерезонансности: при пересечении мнимой оси одной парой комплексно-сопряженных собственных значений остальные собственные значения не должны попасть на кратные точки мнимой оси.

Подробно изучен резонанс 2:1 (сильный резонанс) в системах управления. При таком резонансе возникают малые циклы, но могут возникать и циклы "почти удвоенного" периода. Эти циклы отличаются от обычных: они существуют по обе стороны от точек бифуркации, иногда даже по 2 таких цикла с каждой стороны; эти циклы не почти плоские, а четырехмерные кривые общего положения в фазовом пространстве; в отличие от обычных бифуркаций Хопфа их амплитуды меняются по параметру почти линейно. Исследованы бифуркационные диаграммы.

Изучен резонанс m:n (слабый резонанс). При таком резонансе в силу классической теоремы Хопфа в окрестности точки бифуркации всегда существуют два семейства циклов. Возникает вопрос о существовании субгармоник большого периода. Этот вид резонанса впервые рассматривался еще в 1939 году в работе Майера. Далее результаты в этом направлении стали классическими, вошли во многие монографии и даже учебники по качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Грубо говоря, суть этих результатов следующая. Если нелинейности, входящие в систему, гладкие, то в ситуации общего положения непрерывные континуумы субгармоник не рождаются – необходимо дополнительное условие типа равенства. При выполнении этого условия возникают клювы синхронизации, в которых возникают инвариантные торы. Изучен негладкий случай с главной однородной частью. Как оказалось, здесь – "всё наоборот" – в ситуации общего положения непрерывные ветви субгармоник существуют. Похожая ситуация (существенная зависимость ответов от гладкости нелинейностей) возникает и в некоторых задачах о бифуркации субгармоник вынужденных колебаний. Сравнительно давно (1970) В. С. Козякин открыл явление субфуркации (спорадическое возникновение периодических решений возрастающих к бесконечности периодов). Это явление тоже во многом определяется гладкостью, точнее сказать, полиномиальностью главных частей нелинейностей. Если главные части имеют общий неполиномиальный вид, то субфуркация не возникает и рождаются обычные непрерывные ветви субгармоник.

Предложены и изучены новые классы итерационных процедур приближенного построения решений краевых задач с немонотонными непрерывными нелинейностями, основанные на методе челночных итераций. Процедуры сходятся к робастно устойчивым решениям (например, решениям ненулевого топологического индекса) или робастно устойчивым ветвям решений задачи и содержат двусторонние оценки этих решений (ветвей).

Развит созданный в последние годы метод анализа непотенциальных проблем при помощи классических в потенциальных задачах процедур типа усреднения нелинейностей по фазовым переменным. Получены новые условия разрешимости векторных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и периодических задач для систем с гистерезисом.

Исследовалась проблема возмущения аттракторов косых произведений автономных динамических систем. Был предложен метод "раздутия", сводящий проблему к анализу поведения автономных многозначных систем. Получены результаты, показывающие, что аттрактор исходной системы может быть сколь угодно точно аппроксимирован аттракторами "раздутых" систем при стремлении величины "шара раздутия" к нулю. Показано, что аттракторы косых произведений систем, обладающих свойством шедоуинга базовой компоненты, робастны по отношению к возмущениям базовой компоненты.

Одной из ключевых проблем теории динамический систем является проблема анализа влияния возмущений на свойства и сам факт существования глобальных притягивающих множеств систем – аттракторов. Данная проблема особенно трудна в случае неавтономных систем. Обширный подкласс неавтономных систем образуют косые произведения динамический систем, в которых "управляемая" или "надстроечная" компонента описывает динамику собственно исходной системы и зависит от некоторого параметра внешнего воздействия, а динамика параметра внешнего воздействия не произвольна, а определяется некоторой автономной системой – "управляющей" или "базовой" компонентой динамической системы. За счет введения структуры косого произведения удается получить достаточно общие прикладные результаты.

В рамках анализа косых произведений одной из наиболее трудных является проблема учета влияния постоянно действующих возмущений управляемой компоненты на ее предельные системы. Для анализа этой ситуации была предложена идея "раздутия" динамических систем, сводящая задачу к изучению динамики вспомогательных автономных систем с многозначными правыми частями.

Оказалось, что аттрактор исходной системы в естественных ситуациях может быть сколь угодно точно аппроксимирован аттракторами "раздутых" систем при стремлении величины "шара раздутия" к нулю. Используя этот факт, удалось установить, что процедура раздутия динамической системы в известном смысле равносильна рассмотрению всех возможных процедур численного моделирования динамики рассматриваемой системы. Тем самым был получен и ответ на вопрос о возможности отслеживания аттракторов так называемых косых произведений динамических систем численными методами.

Одним из практически важных примеров косых произведений динамических систем являются системы, рассинхронизованные по фазе и частоте. В этих системах роль базовой составляющей играет отображение сдвига на многомерном торе, а свойства управляемой составляющей зависят кусочно-непре-рывным образом от положения базовой переменной на торе. С использованием предложенной ранее техники сдвиговых словарей были получены условия, при которых наличие в двухкомпонентной рассинхронизованной системе одного ограниченного устойчивого решения влечет существование как прямого, так и обратного аттрактора.

Более сложна ситуация, когда возмущениям в косом произведении динамических систем подвергается не управляемая составляющая, а базовая. Основная причина этого в том, что даже при сколь угодно малых возмущениях базовой составляющей, их влияние на динамику управляемой составляющей накапливается со временем. При исследовании предельной динамики это приводит к нелокальным возмущениям системы. Здесь следует различать два случая – когда возмущения вносятся в базовую компоненту на этапе ее воздействия на управляемую компоненту (слабые возмущения), и когда возмущениям подвергается собственно динамика базовой компоненты (сильные возмущения). Оказалось, что анализ систем со слабыми возмущениями может быть проведен в рамках идеологии раздутий управляемой составляющей с непринципиальными в теоретическом плане (но достаточно существенными в плане применяемой техники) изменениями уже разработанных методов. Анализ систем с сильными возмущениями удалось провести после того, как было замечено, что этот случай может быть сведен к случаю слабых возмущений, если базовая компонента обладает свойством шедоуинга. Следует отметить, что свойством шедоуинга обладают многие системы с выраженным хаотическим поведением.

Было продолжено исследование математических моделей гистерезиса и близких вопросов. На основе характеризационной теоремы, утверждающей, что (при дополнительных предположениях) каждая непрерывная гистерезисная нелинейность с короткой памятью является задачей Скорохода (ЗС) с точностью до невырожденной замены переменной, основное внимание было уделено исследованию ЗС и их неавтономных обобщений – процессов заметания. В этой области был достигнут существенный прогресс.

Во-первых, так как свойства непрерывности полиэдральных ЗС, как известно, связаны с различными свойствами устойчивости конечных множеств косых проекций (дискретных линейных включений), было продолжено исследование бесконечных произведений матриц, где ключевую роль играют свойства левой сходимости произведений (ЛСП) и правой сходимости произведений (ПСП). Было найдено легко проверяемое необходимое и достаточное условие эквивалентности ЛСП и ПСП (условие трансверсальности). Было также доказано, что для конечных множеств матриц, обладающих одновременно свойствами ЛСП и ПСП (в частности, для множеств ортогональных проекторов на линейные подпространства), можно определить произведения любых упорядоченных множеств матриц, и эти произведения обладают свойством ограниченной вариации. Этот результат является ключевым для дифференцирования по направлению гистерезисных процессов и, кроме того, может сыграть важную роль в приложениях (например, в компьютерной томографии), где используются методы последовательного проектирования.

Условие трансверсальности вместе со свойством ЛСП так называемых ассоциированных проекционных систем полиэдральных ЗС оказалось достаточным для липшицевой непрерывности операторов, порожденных этими ЗС, в пространствах непрерывных и абсолютно непрерывных функций одновременно.

Изучались процессы заметания с переменным законом отражения на поверхности замкнутого выпуклого множества (тоже переменного). Было найдено условие регулярности, обеспечивающее однозначную разрешимость и непрерывность соответствующего входо-выходного оператора. Другое совместное исследование относилось к производным по направлению гистерезисных нелинейностей, представленных как процессы заметания. Одномерный случай был изучен полностью и результаты были записаны в компактном виде с помощью новой техники обобщенных пределов. Этот метод оказался весьма плодотворным при обобщении определения решения процессов заметания общего вида. А именно, выход процесса заметания определяется как обобщенный предел конечных последовательностей проектирований на переменное характеристическое множество при неограниченном измельчении соответствующего конечного разбиения. При таком определении все вопросы существования решений становятся тривиальными. Легко выводятся новые результаты об усредненном поведении периодических процессов заметания с медленно меняющимися параметрами. Исследование производных по направлению многомерных полиэдральных процессов заметания находится в стадии завершения.

Была обнаружена неожиданная связь теории негладкой оптимизации с математической теорией гистерезиса. Условие Д-регулярности (связанное с метрикой Демьянова в пространстве выпуклых множеств), которое ранее было использовано как достаточное условие для наследования свойства непрерывности выпуклозначных отображений при операции непустого пересечения, оказалось также достаточным для равномерной непрерывности процесса заметания с нормальным отражением в равномерной метрике. Был получен также следующий родственный результат: условие Д-регулярности обеспечивает сходимость широкого класса методов последовательного проектирования, используемых в восстановлении образов, негладкой оптимизации и т.д.

Одной из наиболее важных областей применения ЗС и связанных с ними методов является теория сетей с очередями. Существенный прогресс был достигнут в изучении свойств сходимости и непрерывности детерминированных потоков однородных клиентов с очередями. В качестве основного инструмента была использована теория дискретных линейных включений; в частности, нашли успешное применение ранее не опубликованные результаты об однозначной разрешимости и непрерывности полиэдральных ЗС с косым отражением. Все прежние ограничения на процесс обслуживания удалось снять; полученная теорема позволяет сделать далеко идущие выводы для стохастических сетей как с однородными клиентами, так и с клиентами различных классов. В частности, могут быть получены результаты типа жидкостной аппроксимации при существенно более слабых ограничениях на стохастические процессы входа и обслуживания.

Был предложен новый подход к разделению ресурсов между конкурирующими потоками трафика. Традиционные пропорциональные методы разделения ресурсов приводят к диспропорциональному качеству обслуживания индивидуальных потоков. Моделирование радиосистемы, использующей предложенный подход, подтвердило её эффективность. Была также предложена упрощенная версия алгоритма (линейной сложности), доставляющая асимптотически идентичные результаты.

Подведены итоги детального исследования маршрутизационных алгоритмов в сетях АТМ (асинхронных передач данных) с множественными критериями качества. Как показали исследования, один из предложенных алгоритмов может быть использован как квази-оптимальный для алгоритмов широкого класса сетей и нагрузочных распределений. Изучена эффективность нового метода разделения высокоскоростных соединений на несколько медленных соединений, маршрутизируемых независимо. Как показало моделирование, разделение на два соединения является наиболее эффективным методом для снижения блокировки соединений.

Для построения мультикастных деревьев с множественными критериями качества предложены два алгоритма. Первый алгоритм, будучи квази-опти-мальным, непрактичен по причине его немасштабируемости. Второй алгоритм, являющийся упрощенной версией первого, может быть применен как расширение протокола PIM-SM. Как показало моделирование, качество построения деревьев обоими алгоритмами не сильно отличается для реалистичных сетей с реалистичными нагрузками.

Решены задача оптимальной линейной фильтрации и задача оценки параметров для линейных систем с шумами типа дробного Броуновского движения. Доказана асимптотическая устойчивость оптимального фильтра и изучено асимптотическое поведение оптимальных оценок параметров. Решена задача усреднения решений параболических уравнений со случайными, быстроосциллирующими коэффициентами.

Продолжены работы в области гибридных и темпоризованных систем. В 2000 г. исследовано влияние малых возмущений на вычислительную мощность гибридных систем и классических моделей вычислений. Также разработан ряд алгоритмов и полу алгоритмов для анализа и синтеза гибридных систем. Эти алгоритмы были, в частности, применены для синтеза управления для вырожденных механических систем.

Изучалась надежность компьютерных моделей сложных нелинейных систем. Следующие проблемы являются центральными в этом направлении: разобраться в соотношениях между различными комбинаторными характеристиками статистических ансамблей дискретизаций данной динамической системы; установить, как эти характеристики зависят от особенностей используемой компьютерной арифметики, например, от шага дискретизации; выяснить, как комбинаторные характеристики статистического ансамбля дискретизаций динамической системы зависят от энтропийных характеристик самой системы и наоборот.

Применяемый подход опирается на специальные феноменологические модели ансамблей дискретизаций. Эти модели должны быть качественно и количественно адекватны, и, в тоже время, должны допускать строгий математический анализ. Базой для построения таких моделей являются случайные отображения, а их построение распадается на два этапа. Вначале конструируется "неравновероятное" случайное отображение, когда каждой точке присваивается индивидуальный вес, отражающий, грубо говоря, распределение притягивающей инвариантной меры изучаемой динамической системы. На втором этапе такое "неравновероятное" случайное отображение заменяется подходящим более простым случайным отображением. Проведен строгий анализ второго этапа в ряде практически важных случаев.

Принципиально важной задачей является верификация того, что данное случайное отображение действительно может быть использовано как феноменологическая модель статистического ансамбля дискретизаций динамической системы. Для решения этой задачи развит метод смешанных моментов. В ряде случаев особую роль играют так называемые случайные отображения с притягивающим центром. Отметим в заключение, что при исследовании отображений, дискретизации которых имеют ярко выраженную алгебраическую структуру, необходимы совсем другие методы.

Системы, возникающие при моделировании различных процессов в природе и технике, часто содержат сильные нелинейности с нестандартными с точки зрения классической математики характеристиками. Такие нелинейности возникают, например, при моделировании гистерезиса. Предложен новый метод анализа устойчивости почти периодических режимов в системах с гистерезисом. Рассмотрены более общие рекуррентные режимы, результаты применимы к системам, содержащим нелинейности Прандтля, Бесселинга, Ишлинского, Мизеса, Tреска (эти нелинейности используются в задачах пластичности), модели Маделунга, Прейсаха, Гилтая, Маергойза магнетизма и др.

Специальное внимание уделялось анализу квази-хаотических режимов, выделены и детально изучены новые спектральные характеристики квази-хаоти-ческого поведения.

Дано новое определение хаотического поведения, удобное при исследовании систем с гистерезисными нелинейностями Бесселинга-Ишлинского и Гилтая. Предложены новые варианты классической леммы о тени, применимые к системам с гистерезисом. Ряд описанных выше методов был применен для детального изучения класса аналоговых систем динамической памяти.